Question

如圖，在△ABC中，∠B=

π

2

，AB=BC=2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥BC，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（1）當(dāng)棱錐A′-PBCD的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為A′C的中點(diǎn)，求證：A′B⊥DE．

Answer 1

分析：（1）令PA=x（0＜x＜2）求出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值．
（2）設(shè)F為A′B的中點(diǎn)，連接PF，F(xiàn)E，通過(guò)PDEF是平行四邊形，證明A′B⊥DE．

解答：解：（1）令PA=x（0＜x＜2），則A′P=PD=x．BP=2-x，因?yàn)锳′P⊥PD
且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD，所以VA′-PBCD=

1

3

Sh=

1

6

(2-x)(2+x)x=

1

6

(4x-x3)
令f（x）=

1

6

(4x-x3)，由f′（x）=

1

6

(4-3x2) =0得x=

2 3

3

，
當(dāng)x∈（0，

2 3

3

）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（

2 3

3

，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)x=

2 3

3

時(shí)，f（x）取得最大值，
即：體積最大時(shí)，PA=

2 3

3

．
（2）設(shè)F為A′B的中點(diǎn)，連接PF，F(xiàn)E，則有EF∥BC，EF=

1

2

BC，PD∥BC，PD=

1

2

BC，
所以DE∥PF，又A′P=PB，所以PF⊥A′B．
故DE⊥A′B

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查幾何體的體積計(jì)算，函數(shù)最大值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．