Question

（2013•大連一模）設(shè)離心率e=

1

2

的橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是x軸正半軸上一點(diǎn)，以PF₁為直徑的圓經(jīng)過橢圓M短軸端點(diǎn)，且該圓和直線x+

3

y+3=0相切，過點(diǎn)P直線橢圓M相交于相異兩點(diǎn)A、C．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若相異兩點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線BC交x軸與點(diǎn)Q，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)圓所過短軸端點(diǎn)為N，由|NF₁|=a，∠PNF₁=

π

2

，e=

1

2

，可判斷F₂（c，0）是以PF₁為直徑的圓的圓心，根據(jù)圓和直線相切可得2c=

|c+3|

1+( 3 )2

，據(jù)此解得c值，從而得到a，b；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則點(diǎn)B（x₁，-y₁），設(shè)直線PA的方程為y=k（x-3），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，寫出直線BC的方程，令y=0可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，代入韋達(dá)定理即可求得其值，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)以PF₁為直徑的圓經(jīng)過橢圓M短軸端點(diǎn)N，
∴|NF₁|=a，∠PNF₁=

π

2

，∵e=

1

2

，∴a=2c，
∴∠NF1P=

π

3

，|F₁P|=2a．
∴F₂（c，0）是以PF₁為直徑的圓的圓心，
∵該圓和直線x+

3

y+3=0相切，
∴2c=

|c+3|

1+( 3 )2

，
∴c=1，a=2，b=

3

，
∴橢圓M的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則點(diǎn)B（x₁，-y₁），
設(shè)直線PA的方程為y=k（x-3），聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-3).

，
化簡(jiǎn)整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0得k2＜

3

5

．
則x1+x2=

24k2

4k2+3

，x1x2=

36k2-12

4k2+3

．
直線BC的方程為：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，則x=

y1x2+y2x1

y1+y2

=

2x1x2-3(x1+x2)

x1+x2-6

=

72k2-24 4k2+3 - 72k2 4k2+3

24k2 4k2+3 -6

=

4

3

，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(

4

3

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)問題的分析解決能力，韋達(dá)定理、判別式是常用內(nèi)容，要牢固掌握．