Question

已知直線y=mx+3m和曲線y=

4-x2

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

[0，

2 5

5

)

．

Answer 1

分析：由題意，直線y=mx+3m經(jīng)過定點(diǎn)P（-3，0），以m為斜率．同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=mx+3m和曲線y=

4-x2

，得到它們相切時(shí)直線PA的斜率m的值，由此將直線繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)與m的變化，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵直線y=mx+3m=m（x+3）經(jīng)過定點(diǎn)P（-3，0），以m為斜率
曲線y=

4-x2

是以原點(diǎn)為圓心，半徑r=2的圓的上半圓
∴同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象，如圖
當(dāng)直線與半圓切于A點(diǎn)時(shí)，它們有唯一公共點(diǎn)，
此時(shí)，直線的傾斜角α滿足sinα=

2

3

∴cosα=

1-sin2α

=

5

3

，可得直線的斜率m=tanα=

sinα

cosα

=

2 5

5

當(dāng)直線y=mx+3m的傾斜角由此位置變小時(shí)，兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，直線斜率m變成0為止
由此可得當(dāng)0≤m＜

2 5

5

時(shí)，直線y=mx+3m和曲線y=

4-x2

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
故答案為：[0，

2 5

5

)

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與半圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、恒過定點(diǎn)的直線和同角三角函數(shù)基本關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．