Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足f（2）=0，且方程f（x）=x有相等的實(shí)根，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≤t²+ct+1對(duì)一切t∈R，x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)C的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]？若存在，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（2）=0和f（x）=x有等根，建立關(guān)于a、b的二元方程組，解出a、b的值，即可得到f（x）的解析式；
（2）由二次函數(shù)的最值，得關(guān)于t的不等式即t²+ct+

1

2

≥0對(duì)任意t∈R恒成立．再用根的判別式建立關(guān)于c的不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）根據(jù)f（x）的最大值為

1

2

，可知若存在滿足條件的m、n，則必有n≤

1

8

，從而得到在區(qū)間[m，n]上函數(shù)是增函數(shù)，由此建立關(guān)于m、n的方程組，解之即可得存在m=-6，n=0，使得使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]．

解答：解：（1）由f（2）=0可知，4a+2b=0，
又∵f（x）=x有兩個(gè)相等實(shí)根，
可得（b-1）²-4ac=0，解之得a=-

1

2

，b=1，
故f（x）的解析式為：f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）∵f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
∴不等式f（x）≤t²+ct+1對(duì)一切t∈R、x∈R恒成立，可得

1

2

≤t²+ct+1對(duì)一切t∈R恒成立，
即t²+ct+

1

2

≥0對(duì)任意t∈R恒成立．
因此，△=c²-2≤0，解之得-

2

≤c≤

2

；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]，
由（1）可知f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，故4n≤

1

2

，故m＜n≤

1

8

，
又∵函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=1，
∴f（x）在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，可得f（m）=4m，f（n）=4n，
解得m=0或m=-6，n=0或n=-6．再由m＜n，可得m=-6，n=0．
綜上所述，得存在m=-6，n=0，使得使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出二次函數(shù)和一元二次不等式恒成立，求函數(shù)的表達(dá)式并解關(guān)于x的不等式恒成立的問(wèn)題，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)恒成立問(wèn)題和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．