Question

定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=2f（x）；②當2≤x≤4時，f（x）=1-|x-3|，則集合 S={x|f（x）=f（61）}中的最小元素是

 

．

Answer 1

考點：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出極值點坐標，所以f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次為1，2，4…，即最大值構(gòu)成一個以2為公比的等比數(shù)列，由此可得結(jié)論．

解答： 解：當2^n-1≤x≤2ⁿ（n∈N^*）時，

x

2n-2

∈[2，4]，
∵函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=2f（x）；②當x∈[2，4]時，f（x）=1-|x-3|，
∴n≥2時，f（x）=2^n-1×f（

x

2n-2

）=2^n-1×[1-|

x

2n-2

-3|]
由函數(shù)解析式知，當

x

2n-2

-3=0時，函數(shù)取得極大值2^n-1，
∴極大值點坐標為（3×2^n-2，2^n-1）
∴f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次為1，2，4…，即最大值構(gòu)成一個以2為公比的等比數(shù)列，
∵f（61）=2f（

61

2

）=4f（

61

4

）=8f（

61

8

）=16f（

61

16

）=16×

3

16

=3，
∴f（x）=3時x的最小值是12；
故答案為：12

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進而求出函數(shù)的極值點坐標，是解答本題的關(guān)鍵．