Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 的最大值為1.

【解析】

（1）根據(jù)的不同范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到的單調(diào)性；（2）方法一：構(gòu)造新函數(shù)，通過討論的范圍，判斷單調(diào)性，從而確定結(jié)果；方法二：利用分離變量法，把問題變?yōu)?/span>，求解函數(shù)最小值得到結(jié)果.

（1）

當(dāng)時(shí)， 在上遞增；

當(dāng)時(shí)，令，解得：

在上遞減，在上遞增；

當(dāng)時(shí)， 在上遞減

（2）由題意得：

即對(duì)于恒成立

方法一、令，則

當(dāng)時(shí)， 在上遞增，且，符合題意；

當(dāng)時(shí)， 時(shí)，單調(diào)遞增

則存在，使得，且在上遞減，在上遞增

由得：

又 整數(shù)的最大值為

另一方面，時(shí)，，

，

時(shí)成立

方法二、原不等式等價(jià)于：恒成立

令

令，則

在上遞增，又，

存在，使得

且在上遞減，在上遞增

又，

又，整數(shù)的最大值為