Question

將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y=ae^nt，若5min后甲桶和乙桶的水量相等，又過了mmin后甲桶中的水只有

a

8

升，則m=

10

．

Answer 1

分析：由題意，函數(shù)y=f（t）=ae^nt滿足f（5）=

1

2

a，解出n=

1

5

ln

1

2

．再根據(jù)f（m）=

1

8

a，建立關(guān)于m的指數(shù)方程，由對數(shù)恒成立化簡整理，即可解出m的值．

解答：解：根據(jù)題意，得
∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函數(shù)y=f（t）=ae^nt，滿足f（5）=ae⁵ⁿ=

1

2

a
可得n=

1

5

ln

1

2

因此，當kmin后甲桶中的水只有

a

8

升，即f（k）=

1

8

a
即

1

5

ln（

1

2

•k）=ln

1

8

，

1

5

ln（

1

2

•k）=3ln

1

2

，解之得k=15，
經(jīng)過了k-5=10分鐘，即m=10
故答案為：10

點評：本題給出實際應用問題，求經(jīng)過幾分鐘后桶內(nèi)的水量剩余八分之一．著重考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)恒等式化簡指數(shù)方程和對數(shù)的運算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．