Question

設(shè),.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求證：在數(shù)軸上，介于與之間，且距較遠(yuǎn)；

（Ⅲ）在數(shù)軸上，之間的距離是否可能為整數(shù)？若有，則求出這個(gè)整數(shù)；若沒有，

說明理由.

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】

試題分析：i(Ⅰ) 證明不成立問題一般采用反證法，即假設(shè)問題成立，從假設(shè)開始推理論證得出矛盾，則說明假設(shè)不成立原命題成立。（Ⅱ）只需證明即可說明介于與之間。下面應(yīng)分兩種情況證明，當(dāng)時(shí)，用作差法比較和 的大小當(dāng)時(shí)，說明距較遠(yuǎn)。當(dāng)時(shí)同理可證。（Ⅲ）用反證法：假設(shè)存在整數(shù)m為之間的距離，不妨設(shè)，將代入上式整理可得關(guān)于的一元二次方程。用求根公式可將解出。若與已知相矛盾，則說明假設(shè)不成立，否則假設(shè)成立。

試題解析：(Ⅰ)假設(shè)與已知，

所以. 3分

（Ⅱ）因?yàn)?/span> ，所以
所以或。即或。所以介于與之間。

若則，

因?yàn)?/span>，所以，

則，所以，所以距較遠(yuǎn)。

當(dāng)時(shí)，同理可證。

綜上可得在數(shù)軸上，介于與之間，且距較遠(yuǎn)。

（Ⅲ）假設(shè)存在整數(shù)m為之間的距離，不妨設(shè)，

則有，因?yàn)?/span>，所以，即。所以。因?yàn)?/span>,所以只有。當(dāng)時(shí)，或，與假設(shè)矛盾，故，之間的距離不可能為整數(shù)。

考點(diǎn)：作差法比較大小、反證法。