Question

（2013•青浦區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}滿足a1=2 ，an+1=3an+3n+1-2n (n∈N*)．
（1）設bn=

an-2n

3n

，證明：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，結合等差數(shù)列的定義，可得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，確定其通項，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法，可求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答：（1）證明：∵bn+1-bn=

an+1-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=

3an+3n+1-2n-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=1，…（2分）
∴{b_n}為等差數(shù)列．
又b₁=0，∴b_n=n-1．…（4分）
∴an=(n-1)•3n+2n．…（6分）
（2）解：設Tn=0•31+1•32+…+(n-1)•3n，則
3Tn=0•32+1•33+…+(n-1)•3n+1．
∴兩式相減可得-2Tn=32+…+3n-(n-1)•3n+1=

9(1-3n-1)

1-3

-(n-1)•3n+1．…（10分）
∴Tn=

9-3n+1

4

+

(n-1)•3n+1

2

=

(2n-3)•3n+1+9

4

．
∴Sn=Tn+(2+22+…+2n)=

(2n-3)3n+1+2n+3+1

4

．   …（14分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查錯位相減法求數(shù)列的和，確定數(shù)列的通項是關鍵．