Question

（2009•河北區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞1），g（x）=x-b．
（Ⅰ）若a=e，且y=g（x）是y=f（x）的切線，求b的值；
（Ⅱ）若b=0，且y=g（x）是y=f（x）的切線，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，可得切線方程，從而可求b的值；
（Ⅱ）求出y=log_ax的斜率為1的切線方程，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=lnx，f′(x)=

1

x

…（2分）
令f′（x₀）=1，得x₀=1，y₀=f（x₀）=f（1）=0
∴y=lnx的斜率為1的切線為y=x-1…（4分）
∴b=1．…（6分）
（Ⅱ）g（x）=x，f′(x)=

1

xlna

．
令f′（x₀）=1，得x0=

1

lna

，y0=f(x0)=loga(

1

lna

)．
∴y=log_ax的斜率為1的切線為y=x+loga(

1

lna

)-

1

lna

…（8分）
∴loga(

1

lna

)-

1

lna

=0，即

ln( 1 lna )

lna

=

1

lna

…（10分）
∴a=e

1

e

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．