Question

14．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，AB⊥B₁C．
（Ⅰ）證明：A₁C₁=AB₁；
（Ⅱ）若AC⊥AB₁，∠BCC₁=120°，AB=BC，求二面角A-A₁B₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BC₁，交B₁C于點O，連結(jié)AO，可證B₁C⊥平面ABO，可得B₁C⊥AO，B₁O=CO，進而可得A₁C₁=AB₁；
（Ⅱ）以O為坐標原點，$\overrightarrow{OB}$的方向為x軸的正方向，|$\overrightarrow{OB}$|為單位長度，$\overrightarrow{O{B}_{1}}$的方向為y軸的正方向，$\overrightarrow{OA}$的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連接BC₁，交B₁C于點O，連接AO，
∵側(cè)面BB₁C₁C為菱形，∴B₁C⊥BC₁，且O為B₁C及BC₁的中點．
又AB⊥B₁C，∴B₁C⊥平面ABO．故B₁C⊥AO．又B₁O=CO，
故AC=AB₁．
又AC=A₁C₁，∴A₁C₁=AB₁；
（Ⅱ）解：∵AC⊥AB₁，且O為B₁C的中點，∴AO=CO．
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC．故OA⊥OB，從而OA，OB，OB₁兩兩垂直．以O為坐標原點，OB的方向為x軸正方向，設|OB|=1，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．
∵∠BCC₁=120°，∴∠CBB₁=60°，∴△CBB₁為等邊三角形，又AB=BC，
則$A（{0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，B（1，0，0），${B_1}（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）$，$C（{0，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0}）$．
設$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面AA₁B₁的法向量，則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{\sqrt{3}}}{3}y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}z=0}\\{x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}z=0}\end{array}}\right.$，
∴可取$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．
設$\overrightarrow m$是平面A₁B₁C₁的法向量，則同理可取$\overrightarrow m=（1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．
則$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow m}\right＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow m}|}}=\frac{1}{7}$．
∴結(jié)合圖形知二面角A-A₁B₁-C的余弦值為$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查二面角的平面角及求法，考查空間向量法解決立體幾何問題，建立坐標系是解決問題的關鍵，屬中檔題．