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如果函數滿足在集合上的值域仍是集合,則把函數稱為N函數.
例如:就是N函數.
(Ⅰ)判斷下列函數:①,②,③中,哪些是N函數?(只需寫出判斷結果);
(Ⅱ)判斷函數是否為N函數,并證明你的結論;
(Ⅲ)證明:對于任意實數,函數都不是N函數.
(注:“”表示不超過的最大整數)

(Ⅰ);(Ⅱ)是N函數;(Ⅲ)略

解析試題分析:(Ⅰ)的定義域為時,值域不是集合,例如值域中不含2。故不是N函數 。的定義域為時,值域不是集合,例如值域中不含2。故不是N函數。當,所以是N函數。(Ⅱ)因為“”表示不超過的最大整數,所以。設,則,所以,解得,因為所以在一定存在正整數,即存在滿足(Ⅲ)需對實數在全體實數范圍內進行討論。若為負時,函數不是N函數;若函數有最大值時,函數不是N函數;若函數的值是正數但不能取到所有正數時,函數不是N函數。
試題解析:解:(Ⅰ)只有是N函數.                   3分
(Ⅱ)函數是N函數.
證明如下:
顯然,,.                 4分
不妨設,
可得,
.
因為,恒有成立,
所以一定存在,滿足,
所以設,總存在滿足
所以函數是N函數.                    8分
(Ⅲ)(1)當時,有,
所以函數都不是N函數.                 9分
(2)當時,① 若,有
所以函數都不是N函數.       10分
② 若,由指數函數性質易得,
所以,都有
所以函數都不是N函數.        11分
③ 若,令,則,
所以一定存在正整數使得 ,
所以,使得,
所以.
又因為當時,,所以

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