已知函數(shù) .
(1)判斷函數(shù)在的單調(diào)性并用定義證明;
(2)令,求在區(qū)間的最大值的表達(dá)式.
(1)函數(shù)在遞增;證明詳見答案解析.
(2)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
解析試題分析:(1)先根據(jù)已知條件求出,再根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可;
(2)由(1)先求出的表達(dá)式,再根據(jù)單調(diào)性求得各個(gè)區(qū)間的最大值,綜上即可求出在區(qū)間的最大值的表達(dá)式.
試題解析:(1)在遞增;
證明如下:
在區(qū)間上任取
則
而,所以,>0
所以,即函數(shù)在的單調(diào)遞增;(6分)
(2)若,,在遞增,,
若,)在遞減,, (9分)
若,則 (11分)
當(dāng)時(shí),函數(shù)遞增,,
當(dāng)時(shí),函數(shù)遞減,; (13分)
,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),
.
綜上:時(shí),,當(dāng)時(shí),. (15分)
考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)求值域問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍,并求出該零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示),該扇環(huán)面是由以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后通過點(diǎn)的兩條直線段圍成.按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米,圓心角為(弧度).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí),直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米,弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米.設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出為何值時(shí),取得最大值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(1)若關(guān)于x的不等式在有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè),若關(guān)于x的方程至少有一個(gè)解,求p的最小值.
(3)證明不等式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
我國加入WTO后,根據(jù)達(dá)成的協(xié)議,若干年內(nèi)某產(chǎn)品關(guān)稅與市場供應(yīng)量的關(guān)系允許近似的滿足:(其中為關(guān)稅的稅率,且,為市場價(jià)格,、為正常數(shù)),當(dāng)時(shí)的市場供應(yīng)量曲線如圖:
(1)根據(jù)圖象求、的值;
(2)若市場需求量為,它近似滿足.當(dāng)時(shí)的市場價(jià)格稱為市場平衡價(jià)格.為使市場平衡價(jià)格控制在不低于9元,求稅率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示),該扇環(huán)面是由以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后通過點(diǎn)的兩條直線段圍成.按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米,圓心角為(弧度).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí),直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米,弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米.設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出為何值時(shí),取得最大值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求m的值:
(2)設(shè).若函數(shù)與的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn).求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如果函數(shù)滿足在集合上的值域仍是集合,則把函數(shù)稱為N函數(shù).
例如:就是N函數(shù).
(Ⅰ)判斷下列函數(shù):①,②,③中,哪些是N函數(shù)?(只需寫出判斷結(jié)果);
(Ⅱ)判斷函數(shù)是否為N函數(shù),并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)證明:對于任意實(shí)數(shù),函數(shù)都不是N函數(shù).
(注:“”表示不超過的最大整數(shù))
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