Question

（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)，

(1)求的單調(diào)區(qū)間

(2)若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）若，在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；若，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)的定義域是，

若，則，所以函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．

若，則當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；所以，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．                                                            ……6分

（II）由于，所以，，

故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于      ①

令，則

由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，

所以在上存在唯一的零點(diǎn)，

故在上存在唯一的零點(diǎn)，

設(shè)此零點(diǎn)為，則有，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上的最小值為．又由，可得，所以，

由于①式等價(jià)于，故整數(shù)的最大值為.                          ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造新函數(shù)求解恒成立問題，考查學(xué)生構(gòu)造函數(shù)的能力和分類討論思想的應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題一般都要借助于導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具，而恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為求最值問題解決.