【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，平面AA1C1C⊥平面ABC．

（1）證明：A1O⊥平面ABC；

（2）求直線AB與平面A1BC1所成角的正弦值．

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）由AA1=A1C，且O為AC的中點(diǎn)，得A1O⊥AC，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，即可證得A1O⊥平面ABC；

（2）以O為原點(diǎn)，OB，OC，OA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面A1BC1的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）證明：∵AA1=A1C，且O為AC的中點(diǎn)，

∴A1O⊥AC，

又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交線為AC，又A1O平面AA1C1C，

∴A1O⊥平面ABC；

（2）如圖，以O為原點(diǎn)，OB，OC，OA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0），

，

平面A1BC1的法向量為，

則有，

所以的一組解為，

設(shè)直線AB與平面A1BC1所成角為，

則

又∵，

所以直線AB與平面A1BC1所成角的正弦值：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，若在曲線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________

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【題目】有下列命題：①邊長為1的正四面體的內(nèi)切球半徑為；

②正方體的內(nèi)切球、棱切球（正方體的每條棱都與球相切）、外接球的半徑之比為1：；

③棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球被平面A1BD截得的截面面積為．

其中正確命題的序號(hào)是______（請(qǐng)?zhí)钏姓_命題的序號(hào)）；

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【題目】下列命題中，正確的是（ ）

A.在中，，

B.在銳角中，不等式恒成立

C.在中，若，則必是等腰直角三角形

D.在中，若，，則必是等邊三角形

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【題目】下列有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是（ ）

A. 若“”為假命題，則p，q均為假命題

B. “ ”是“”的充分不必要條件

C. “”的必要不充分條件是“”

D. 若命題p：，，則命題：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且.

（1）求實(shí)數(shù)的值，并指出函數(shù)的定義域；

（2）將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)1個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，寫出函數(shù)的表達(dá)式；

（3）對(duì)于（2）中的，關(guān)于的函數(shù)在上的最小值為2，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若對(duì)于曲線上任意點(diǎn)處的切線，總存在上處的切線，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【2018衡水金卷（二）】如圖，矩形中， 且， 交于點(diǎn)．

（I）若點(diǎn)的軌跡是曲線的一部分，曲線關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)都對(duì)稱，求曲線的軌跡方程；

（II）過點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，四邊形的面積為，探究是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切. 、是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)四邊形面積取最大值時(shí)，求的值.

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