Question

在一很大的湖邊（湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與河岸成15°，速度為v。同時，岸上有一人從同一地點開始追趕小船。已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h，問此人能否追上小船？若小船速度的方向不變，大小改變，求小船能被人追上的最大速度。

Answer 1

答案：
解析：

［解］設(shè)船速度為v，人追上船所用時間為t，其中人在岸上跑的時間為t的x倍(0<x<1)，則人在水中游中的時間為(1-x)t。人要追上船，則人船運動路線滿足如圖所示的三角形。 在DOAB中，|OA|=4xt，|AB|=2(1-x)t，|OB|=vt， 由余弦定理得：|AB|2=|OA|2+|OB|2-2×|OA|×|OB|×cos15° 即4(1-x)2t2=(4xt)2+(vt)2-2×4xt×vt×cos15° 整理得，    ① 顯然，船行速度應(yīng)在人在岸上的速度和人在水中的速度之間，即2<v<4 設(shè)， 則方程（1）在區(qū)間(0，1)上有實數(shù)解，即在(0，1)上有實根， 因為f(0)=v2-4>0， 故只需滿足： 綜上所述，有 所以，當小船的速度為2.5km/h時，人能追上小船，小船能被人追上的最大速度約為。