Question

13．已知數列{a_n}中a₂=3a₁（a₁≠0）且滿足S_n+1=4S_n-3S_n-1，其中（n≥2）
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）當首項a₁=1時，求S_n．

Answer 1

分析 （1）通過對S_n+1=4S_n-3S_n-1變形可知S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），即a_n+1=3a_n（n≥2），進而可知數列{a_n}是以公比為3的等比數列；
（2）通過（1）可知a_n=3^n-1，利用等比數列的求和公式計算即得結論．

解答 （1）證明：∵S_n+1=4S_n-3S_n-1，
∴S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=3a_n（n≥2），
又∵a₂=3a₁（a₁≠0），
∴數列{a_n}是以公比為3的等比數列；
（2）解：由（1）可知a_n=a₁•3^n-1，
又∵首項a₁=1，
∴a_n=3^n-1，
∴S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點評 本題考查等比數列的判定及求和公式，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．