Question

二次函數(shù)y=

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x²的圖象如圖所示，點A₀位于坐標原點O，A₁，A₂，A₃，…，在y軸的正半軸上，點B₁，B₂，B₃，…，在二次函數(shù)y=

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x²第一象限的圖象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，都為等邊三角形，則第n個等邊三角形A_n-1B_nA_n（n≥1的整數(shù)）的邊長是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先計算出△A₀B₁A₁；△A₁B₂A₂；△A₂B₃A₂的邊長，推理出各邊長組成的數(shù)列各項之間的排列規(guī)律，即可得出結(jié)論．

解答： 解：作B₁A⊥y軸于A，B₂B⊥y軸于B，B₃C⊥y軸于C．
設(shè)等邊△A₀B₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等邊△A₀B₁A₁中，A₀A=a，
所以B₁A=atan60°=

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a，代入解析式得

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×（

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a）²=a，
解得a=0（舍去）或a=1，于是等邊△A₀B₁A₁的邊長為1×2=2；
②等邊△A₂B₁A₁中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°=

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b，B₂點坐標為（

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b，2+b）
代入解析式得

1

3

×（

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b）²=2+b，
解得b=-1（舍去）或b=2，
于是等邊△A₂B₁A₁的邊長為2×2=4；
于是n個等邊三角形A_n-1B_nA_n（n≥1的整數(shù)）的邊長是2n．
故答案為：2n．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)和等邊三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，將其性質(zhì)結(jié)合在一起，增加了題目的難度，是一道開放題，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的探索發(fā)現(xiàn)意識．