Question

設(shè)α、β是方程x²-2kx+k+6=0的兩個實根，則（α-1）²+（β-1）²的最小值是________．

Answer 1

8
分析：由判別式△大于或等于零求出k的范圍，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得α+β=2k，αβ=k+6，代入要求的式子化簡為4•-，故當(dāng)k=3時，（α-1）²+（β-1）²有最小值，運算求得結(jié)果．
解答：∵α、β是方程x²-2kx+k+6=0的兩個實根，
∴判別式△=4k²-4（k+6）=4（k-3）（k+2）≥0，解得 k≥3，或 k≤-2．
且α+β=2k，αβ=k+6，
∴（α-1）²+（β-1）² =α²+β²-2（α+β ）+2=（α+β）²-2αβ-2（α+β ）+2=4k²-2（k+6）-2•2k+2=4•-，
故當(dāng)k=3時，（α-1）²+（β-1）²有最小值是 4•-=8，
故答案為 8．
點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．