Question

已知函數(shù)R）．
（Ⅰ）若a=3，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其圖象上任意一點(diǎn)（x，f（x））處切線的斜率都小于2a²，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=3代入后對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可將題轉(zhuǎn)化為求使得f'（x）=-x²+2x+a＜2a²對任意x∈R恒成立的a的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可解題．
解答：（Ⅰ）解：當(dāng)a=3時，，所以f^/（x）=-x²+2x+3，
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜3，由f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，3），減區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）．
（Ⅱ）解：因?yàn)閒'（x）=-x²+2x+a，
由題意得：f'（x）=-x²+2x+a＜2a²對任意x∈R恒成立，
即-x²+2x＜2a²-a對任意x∈R恒成立，
設(shè)g（x）=-x²+2x，所以g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
所以當(dāng)x=1時，g（x）有最大值為1，
因?yàn)閷θ我鈞∈R，-x²+2x＜2a²-a恒成立，
所以2a²-a＞1，解得a＞1或，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a＞1或．
點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．屬中檔題．