對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn)．如果函數(shù)f(x)＝有且僅有兩個(gè)不動點(diǎn)0和2．

(Ⅰ)試求b、c滿足的關(guān)系式；

(Ⅱ)若c＝2時(shí)，各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn·f()＝1，求證：＜＜；

(Ⅲ)設(shè)bn＝－，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：T2009－1＜ln2009＜T2008．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)設(shè)

　　∴　2分

　　(Ⅱ)∵c＝2　∴b＝2　∴，

　　由已知可得2Sn＝an－an2　①，且an≠1．

　　當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝an－1－an－12�、�，

　　①－②得(an＋an－1)(an－an－1＋1)＝0，∴an＝－an－1或an＝－an－1＝－1，

　　當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝a1－a12a1＝－1，

　　若an＝－an－1，則a2＝1與an≠1矛盾．∴an－an－1＝－1，∴an＝－n．4分

　　∴要證待證不等式，只要證，

　　即證，

　　只要證，即證．

　　考慮證不等式(x＞0)**．6分

　　令g(x)＝x－ln(1＋x)，h(x)＝ln(x＋1)－(x＞0)．

　　∴(x)＝，(x)＝，

　　∵x＞0，∴(x)＞0，(x)＞0，∴g(x)、h(x)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，

　　∴g(x)＞g(0)＝0，h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0時(shí)，．

　　令則**式成立，∴＜＜，9分

　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知bn＝，則Tn＝．

　　在中，令n＝1，2，3，……，2008，并將各式相加，

　　得，

　　即T2009－1＜ln2009＜T2008．12分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年黃岡中學(xué)一模理） (本小題滿分14分)對于函數(shù)f(x)，若存在，使成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn). 如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動點(diǎn)0，2，且

（1）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知各項(xiàng)不為零且不為1的數(shù)列{an}滿足，求證：；

（3）設(shè)，為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

       對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn)  已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時(shí)，求f(x)的不動點(diǎn)；

（2）若對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，且A、B關(guān)于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn)．如果函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個(gè)相異的不動點(diǎn)x1，x2．

⑴若x1<1<x2，且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱，求證：<m<1；

⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖南師大附中高三第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

對于函數(shù)f(x)，若在其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，使當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f(x)的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f(x)為“布林函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為函數(shù)f(x)的“等域區(qū)間”.

（1）布林函數(shù)的等域區(qū)間是         .

（2）若函數(shù)是布林函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是           .

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖南省華容縣高一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本小題滿分6分）對于函數(shù)f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，則稱點(diǎn)(x0，x0)為函數(shù)的不動點(diǎn)，已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx-b有不動點(diǎn)(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

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