如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓

C:(a>b>0)的左、右焦點,直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長度之比為1 : 3.設A,B是C上的兩個動點,線段AB的中點M在直線l上,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點.

(Ⅰ) 求橢圓C的方程;

(Ⅱ) 是否存在點M,使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點F2,若存在,求出M點坐標,若不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1)  (2)

【解析】

試題分析:解:(Ⅰ) 設F2(c,0),則,所以c=1.因為離心率e=,所以a=

所以橢圓C的方程為.   4分

(Ⅱ) 當直線AB垂直于x軸時,直線AB方程為x=-, 6分

此時P(,0)、Q(,0) ,.不合;

當直線AB不垂直于x軸時,設存在點M(-,m) (m≠0),直線AB的斜率為k, ,

.由  得,則 -1+4mk=0,

故k=.此時,直線PQ斜率為,PQ的直線方程為

即 

聯(lián)立消去y,整理得  

所以. 8分

由題意0,于是

(x1-1)(x2-1)+y1y2

                      =0.

因為M在橢圓內(nèi),符合條件; 12分

綜上,存在兩點M符合條件,坐標為. 13分

考點:橢圓的方程,直線與橢圓的位置關系

點評:解決的關鍵是對于直線與圓錐曲線的位置關系的運用,要借助于代數(shù)方法聯(lián)立方程組來的得到,屬于基礎題。

 

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