Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn),直線與直線分別與軸交于兩點(diǎn),試問(wèn)在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使得?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定點(diǎn)使得.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意結(jié)合橢圓所過(guò)的點(diǎn)和橢圓的離心率可求得，.則橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)存在定點(diǎn)使得.聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得.設(shè),結(jié)合韋達(dá)定理有直線的方程為:,則,直線的方程為:,則.由向量垂直的 充要條件有，據(jù)此求解關(guān)于n的方程可得.則存在定點(diǎn)使得.

試題解析：

（Ⅰ）由題意可知,又,即,.

解得,即.

所以.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)存在定點(diǎn)使得.

由得.

設(shè),則.

因?yàn)?/span>,所以直線的方程為:,則,

直線的方程為:,則.

則有,,由得

,整理得,故.

所以存在定點(diǎn)使得.