Question

某人有5把鑰匙，一把是房門鑰匙，但忘記了開房門的是哪一把．于是，他逐把不重復(fù)地試開，問：
（1）恰好第三次打開房門鎖的概率是多少？
（2）三次內(nèi)打開的概率是多少？
（3）如果5把內(nèi)有2把房門鑰匙，那么三次內(nèi)打開的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有事件是5把鑰匙，逐把試開相當(dāng)于把五把鑰匙排列有A₅⁵種等可能的結(jié)果．滿足條件的事件是第三次打開房門，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．
（2）由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有事件是5把鑰匙，逐把試開相當(dāng)于把五把鑰匙排列有A₅⁵種等可能的結(jié)果．三次內(nèi)打開房門包括三種情況，列出算式，得到結(jié)果．
（3）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的所有事件同前面一樣，而滿足條件的事件的對立事件是三次內(nèi)打不開，用對立事件的概率公式得到結(jié)果．

解答：解：由題意知本題是一個古典概型，
試驗包含的所有事件是5把鑰匙，逐把試開有A₅⁵種等可能的結(jié)果．
（1）滿足條件的事件是第三次打開房門的結(jié)果有A₄⁴種，
因此第三次打開房門的概率P（A）=

A 4 4

A 5 5

=

1

5

．
（2）三次內(nèi)打開房門的結(jié)果有3A₄⁴種，
所求概率P（A）=

3 A 4 4

A 5 5

=

3

5

．
（3）∵5把內(nèi)有2把房門鑰匙，
故三次內(nèi)打不開的結(jié)果有A₃³A₂²種，
從而三次內(nèi)打開的結(jié)果有A₅⁵-A₃³A₂²種，所求概率P（A）=

A 5 5 - A 3 3 A 2 2

A 5 5

=

9

10

．

點評：本題還可以這樣解：三次內(nèi)打開的結(jié)果包括：三次內(nèi)恰有一次打開的結(jié)果有C₂¹A₃¹A₂¹A₃³種；三次內(nèi)恰有2次打開的結(jié)果有A₃²A₃³種．
因此，三次內(nèi)打開的結(jié)果有C₂¹A₃¹A₂¹A₃³+A₃²A₃³種，求比值得到結(jié)果．