Question

已知函數(shù)f(x)=

ex

ex+1

，x∈R．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）求f(-1)+f(-

1

2

)+f(0)+f(

1

2

)+f(1)的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f(x)=

ex

ex+1

，x∈R是增函數(shù)，由于此函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則進行證明即可；
（2）觀察五個函數(shù)值，出現(xiàn)了兩組自變量互為反函數(shù)，故應(yīng)先研究f（x）+f（-x）的值，再根據(jù)探究出的結(jié)論求值即可得到答案．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

ex

ex+1

，x∈R是增函數(shù)，證明如下
f(x)=

ex

ex+1

=1-

1

ex+1

，由于

1

ex+1

在R上是減函數(shù)，故f(x)=1-

1

ex+1

是增函數(shù)，
即函數(shù)f(x)=

ex

ex+1

，x∈R是增函數(shù)
（2）由于f（x）+f（-x）=

ex

ex+1

+

e-x

e-x+1

=

ex+1

ex+1

=1，f(0)=

e0

e0+1

=

1

2

，
故有f(-1)+f(-

1

2

)+f(0)+f(

1

2

)+f(1)=1+1+

1

2

=

5

2

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，探究規(guī)律求函數(shù)值，本題具有一定的探究性，屬于能力型題，解題的關(guān)鍵是通過審題發(fā)現(xiàn)題設(shè)中的規(guī)律