數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N*）．
（1）設(shè)Cn=log5（an+3），求證{Cn}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=
1
an-6
-
1
a
2
n
+6an
，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn＜-
1
4
．
分析：（1）由an+1=
a
2
n
+6
a
 
n
+6，得
an+1+3=(an+3)2.
，代入Cn=log5（an+3）可得Cn+1=2Cn，由等比數(shù)列定義可證明；
（2）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得cn，根據(jù)Cn=log5（an+3）可求an；
（3）bn=
1
an-6
-
1
a
2
n
+6an
=
1
an-6
-
1
an+1-6
，則Tn=
1
a1-6
-
1
a2-6
+
1
a2-6
-
1
a3-6
+…+
1
an-6
-
1
an+1-6
可求，由表達(dá)式可證；
解答：（1）證明：由an+1=
a
2
n
+6
a
 
n
+6，得
an+1+3=(an+3)2.
，
∴l(xiāng)og5（an+1+3）=2log5（an+3），即Cn+1=2Cn，
∴{Cn}是以2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：又C1=log55=1，∴Cn=2n-1，即 log5(an+3)=2n-1，
∴an+3=52n-1．
故an=52n-1-3．
（3）證明：∵bn=
1
an-6
-
1
a
2
n
+6an
=
1
an-6
-
1
an+1-6
，
∴Tn=
1
a1-6
-
1
a2-6
+
1
a2-6
-
1
a3-6
+…+
1
an-6
-
1
an+1-6

=
1
a1-6
-
1
an+1-6
=-
1
4
-
1
52n-9
．
又
1
52n-9
＞0，
∴Tn＜-
1
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)b＞0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=
nban-1an-1+n-1
（n≥2）
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（4）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=
an-1an-2
(n≥3)，則a17等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知數(shù)列{an}極限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（將A用a表示）；
（II）設(shè)bn=an-A，n=1，2，…，證明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
對(duì)n=1，2，…都成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1，an=
12
an-1+1(n≥2)
（1）若bn=an-2，求證{bn}為等比數(shù)列；    
（2）求{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=
4
3
，an+1=an2-an+1（n∈N*），則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是（　�。�

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