Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求證：D1C⊥AC1；
（2）設(shè)E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，

連接C1D，∵DC=DD1，

∴四邊形DCC1D1是正方形．∴DC1⊥D1C．

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC⊥DD1=D，

∴AD⊥平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1，

∴AD⊥D1C．∵AD，DC1平面ADC1，

且AD⊥DC=D，∴D1C⊥平面ADC1，

又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1

（2）解：連接AD1，連接AE，

設(shè)AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，連接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使D1E∥平面A1BD，

須使MN∥D1E，

又M是AD1的中點．∴N是AE的中點．

又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE．

即E是DC的中點．

綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E∥平面A1BD．

【解析】（1）要證D1C⊥AC1；需證D1C⊥平面ADC1即可（2）確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，設(shè)AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，連接MN，證明MN∥D1E即可．
【考點精析】利用空間中直線與平面之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點；一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行．