Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求的最小值；
（3）若Q（1，0），試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上是否存在M、N兩點(diǎn)，滿足？若存在求出M、N的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=10，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出．
（2）點(diǎn)P與A，B顯然構(gòu)成焦點(diǎn)三角形，利用焦點(diǎn)三角形中三邊關(guān)系，以及余弦定理，均值不等式，很容易求出范圍，進(jìn)而求出最小值．
（3）先假設(shè)存在M、N兩點(diǎn)，滿足，再將過(guò)（1，0）的直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找到關(guān)于m的方程，即可求解
解答：解（1）∵，
∴A（-4，0），B（4，0）．
又∵動(dòng)點(diǎn)P滿足，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=10∴a=5，b=3．
橢圓方程為．
（2）=cos∠APB==2a²-2b²-=18-≥18-=-7，∴的最小值為-7
（3）假設(shè)存在M、N兩點(diǎn)，滿足，則M，Q，N共線，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，可得，∴．①
設(shè)方程為x=my+1，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得，（9m²+25）y²+18my-216=0，
y₁+y₂=-，y₁y₂=-，把①代入，得y₁=，y₁²=
∴m=或-
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了橢圓的定義、焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了直線與橢圓的關(guān)系，解題時(shí)要耐心細(xì)致，重點(diǎn)掌握．