Question

探究函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3，x∈（0，+∞）上的最小值，并確定取得最小值時(shí)x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	14	7	5.34	5.11	5.01	5	5.01	5.04	5.08	5.67	7	8.6	12.14	…

（1）觀察表中y值隨x值變化趨勢特點(diǎn)，請你直接寫出函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3，x∈（0，+∞）的單調(diào)區(qū)間，并指出當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)的最小值為多少；
（2）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）=2x+

8

x

-3在（0，2）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)的變化，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最小值點(diǎn)．
（2）利單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解（1）由表中可知f（x）在 （0，2]為減函數(shù)，[2，+∞）為增函數(shù)．
并且當(dāng)x=2時(shí) f（x）min=5．
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
∵f(x1)-f(x2)=2x1+

8

x1

-(2x2+

8

x2

)=2(x1-x2)+

8(x2-x1)

x1x2

=

2(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，2）為減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用單調(diào)性的定義是解決函數(shù)單調(diào)性的基本方法．