對(duì)于函數(shù)f(x)=a-
12x+1
(a∈R):

(1)探究函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并給予證明;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?
(3)求函數(shù)f(x)的值域.
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)大于0,可得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)增;
(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),從而可建立方程,由此可得存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(3)先確定-1<-
1
2x+1
<0
,進(jìn)而可求函數(shù)f(x)的值域.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)增.
證明:求導(dǎo)函數(shù)可得:f′(x)=
2xln2
(2x+1)2

∵x∈R,∴f′(x)=
2xln2
(2x+1)2
>0

∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)增.
(2)解:若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x)
a-
1
2-x+1
=-a+
1
2x+1

∴2a=1
a=
1
2

∴當(dāng)a=
1
2
時(shí),函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(3)解:∵2x>0
∴2x+1>1
0<
1
2x+1
<1

-1<-
1
2x+1
<0

a-1<a-
1
2x+1
<a

∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋╝-1,a)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,考查函數(shù)的值域,解題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,掌握求函數(shù)值域的一般方法,
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-
22x+1
 
(a∈R)
. 
(1)探索函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使得f(x)為奇函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-
22x+1
(a∈R)

(Ⅰ) 是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?
(Ⅱ) 探究函數(shù)f(x)的單調(diào)性(不用證明),并求出函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•山東模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)=a-
22x+1
(a∈R)

(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù);
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-
2bx+1
 (a∈R,b>0且b≠1)
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f (x)為奇函數(shù)?并說(shuō)明理由.

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