Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

求橢圓的方程；

已知是橢圓的內(nèi)接三角形，

①若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，原點(diǎn)為的垂心，求線段的長(zhǎng)；

②若原點(diǎn)為的重心，求原點(diǎn)到直線距離的最小值.

Answer 1

【答案】；①；②.

【解析】

根據(jù)題意列出方程組求解即可；

①由原點(diǎn)為的垂心可得，軸，設(shè)，則，，根據(jù)求出線段的長(zhǎng)；

②設(shè)中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的重心，則，設(shè)：，，，則，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則到直線的距離為1，，由，則，，，得出，根據(jù)求解即可.

解：設(shè)焦距為，由題意知：，

因此，橢圓的方程為：；

①由題意知：，故軸，設(shè)，則，，

，解得：或，

，不重合，故，，故；

②設(shè)中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，

為的重心，則，

當(dāng)斜率不存在時(shí)，則到直線的距離為1；

設(shè)：，，，則

，

，則

，

則：，，代入式子得：

，

設(shè)到直線的距離為，則

時(shí)，；

綜上，原點(diǎn)到直線距離的最小值為.