Question

15．今年入秋以來(lái)，某市多有霧霾天氣，空氣污染較為嚴(yán)重．市環(huán)保研究所對(duì)近期每天的空氣污染情況進(jìn)行調(diào)査研究后發(fā)現(xiàn)，每一天中空氣污染指數(shù)與f（x）時(shí)刻x（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且a∈（0，1）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求一天中哪個(gè)時(shí)刻該市的空氣污染指數(shù)最低；
（2）規(guī)定每天中f（x）的最大值作為當(dāng)天的空氣污染指數(shù)，要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過(guò)3，則調(diào)節(jié)參數(shù)a應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|+2，x∈[0，24]，令|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|=0，解得x即可得出．
（2）令f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1=$\left\{\begin{array}{l}{3a+1-lo{g}_{25}（x+1），x∈（0，2{5}^{a}-1]}\\{lo{g}_{25}（x+1）+a+1，x∈（2{5}^{a}-1，24]}\end{array}\right.$，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|+2，x∈[0，24]，
令|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|=0，解得x=4，
因此：一天中第4個(gè)時(shí)刻該市的空氣污染指數(shù)最低．
（2）令f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1=$\left\{\begin{array}{l}{3a+1-lo{g}_{25}（x+1），x∈（0，2{5}^{a}-1]}\\{lo{g}_{25}（x+1）+a+1，x∈（2{5}^{a}-1，24]}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈（0，25^a-1]時(shí)，f（x）=3a+1-log₂₅（x+1）單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（0）=3a+1．
當(dāng)x∈[25^a-1，24）時(shí)，f（x）=a+1+log₂₅（x+1）單調(diào)遞增，∴f（x）≤f（24）=a+1+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3a+1≤3}\\{a+2≤3}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{2}{3}$．
可得a∈$（0，\frac{2}{3}]$．
因此調(diào)節(jié)參數(shù)a應(yīng)控制在范圍$（0，\frac{2}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．