Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A（0，）為圓心、1為半徑的圓相切，又知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求與雙曲線C共漸近線，且過點(diǎn)（1，）的雙曲線方程，并求出此雙曲線方程的焦點(diǎn)坐標(biāo)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kx-y=0
∵該直線與圓 相切，所以，解得k=±1，
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x…（3分）
故設(shè)雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為
∴2a²=2，a²=1，
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1…（6分）
（2）雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，
故設(shè)雙曲線的方程x²-y²=k，
又雙曲線過點(diǎn)（1，），
∴1²-（）²=k，k=-1
∴雙曲線方程y²-x²=1 焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，），長(zhǎng)軸和虛軸長(zhǎng)都為2．
分析：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，根據(jù)題意可得k=±1，所以雙曲線C的方程為，C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，故設(shè)雙曲線的方程x²-y²=k，又雙曲線過點(diǎn)（1，）代入方程即可求出雙曲線方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)軸和虛軸長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．