已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,并滿足(1)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,都有f(x)>0;(2)對(duì)任意的x,y∈R,f(xy)=[f(x)]y;(3)f(
13
)>1;利用以上信息求解下列問(wèn)題:
(1)求f(0);
(2)證明f(1)>1且f(x)=[f(1)]x;
(3)若f(3x)-f(9x-3x+1-2k)>0對(duì)任意的x∈[0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)利用所給條件(1)(2)即可得出;
(2)令x=
1
3
,y=3,代入條件(2),再利用(3)即可得出.對(duì)任意的x,y∈R,f(xy)=[f(x)]y;分別取x=1之后,再令y=x即可.
(3)利用(2)的結(jié)論可得:f(x)=[f(1)]x是R上的增函數(shù),即可得出3x>9x-3x+1-2k對(duì)x∈[0,1]恒成立.通過(guò)分離參數(shù)可得2k>9x-4×3x對(duì)x∈[0,1]恒成立.利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答:(1)解:令x=y=0,∵f(0)>0,
∴f(0)=f(0×0)=[f(0)]0=1.
(2)證明:∵f(1)=f(
1
3
×3)=[f(
1
3
)]3
,
f(
1
3
)>1
,∴f(1)>1.
∵對(duì)任意的x,y∈R,f(xy)=[f(x)]y;
令x=1,則f(y)=[f(1)]y
再令y=x,則f(x)=[f(1)]x
(3)解:∵f(1)>1,∴f(x)=[f(1)]x是R上的增函數(shù),
∵f(3x)-f(9x-3x+1-2k)>0對(duì)任意的x∈[0,1]恒成立,
∴3x>9x-3x+1-2k對(duì)x∈[0,1]恒成立.
即2k>9x-4×3x對(duì)x∈[0,1]恒成立.
令g(x)=9x-4×3x=(3x2-4×3x=(3x-2)2-4在[0,1]上單調(diào)遞減,
∴g(x)max=g(0)=-3.∴2k>-3.
k∈(-
3
2
,+∞)
點(diǎn)評(píng):正確理解和應(yīng)用新定義、函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<m(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列說(shuō)法正確的有(  )個(gè).
①已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則對(duì)任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)P處的切線存在,則函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在;反之若函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)P處的切線存在.
③因?yàn)?>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數(shù)單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對(duì)求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關(guān).
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個(gè)根,則實(shí)數(shù)p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A,B,若m變化時(shí),AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值,則AB的值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1,曲線C與其在點(diǎn)P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點(diǎn)P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對(duì)于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請(qǐng)給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點(diǎn).
(1)求a的取值范圍;
(2)過(guò)曲線y=f(x)外的點(diǎn)P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點(diǎn)分別為A、B.
(ⅰ)證明:a=b;
(ⅱ)請(qǐng)問(wèn)△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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