求證：△ABC是等邊三角形的充要條件是a2+b2+c2=ab+bc+ca，這里a，b，c是△ABC的三條邊．
證明：（1）充分性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
則a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
所以△ABC是等邊三角形．
（2）必要性：如果△ABC是等邊三角形，則a=b=c．
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca
綜上可知：△ABC是等邊三角形的充要條件是a2+b2+c2=ab+bc+ca．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求證：△ABC是等邊三角形的充要條件是a2+b2+c2=ab+bc+ca，這里a，b，c是△ABC的三條邊．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，邊a、b、c依次成等比數(shù)列．求證：△ABC是等邊三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，邊a、b、c依次成等比數(shù)列．
（1）求角 B； 
（2）求證：△ABC是等邊三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

  已知△ABC中，三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，邊a、b、c依次成等比數(shù)列．   

求證：△ABC是等邊三角形。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆浙江省臨海市高二第二學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(6分)在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列. 求證：△ABC是等邊三角形。

 

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