Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）函數(shù)的圖象能否與軸相切?若能，求出實數(shù)，若不能，請說明理由；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】分析：第一問首先對函數(shù)求導(dǎo)，之后設(shè)出切點坐標，應(yīng)用切線的斜率等于零以及對應(yīng)點處的函數(shù)值等于零，得到方程組無解，說明沒有滿足條件的點，從而得到結(jié)論；對于第二問，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合其導(dǎo)數(shù)的符號，來確定函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性.

詳解：（1）由于.

假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點，

則有，即.

顯然，將代入方程中，

得.顯然此方程無解.

故無論取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切.

（2）由于，

當時，，當時，，遞增，

當時，，遞減；

當時，由得或，

①當時，，

當時，，遞增，

當時，，遞減，

當，，遞增；

②當時，，遞增；

③當時，，

當時，，遞增，

當時，，遞減，

當時，，遞增.

綜上，當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

當時，在上是增函數(shù)；

當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).