【題目】若過點(diǎn)可作曲線的切線恰有兩條,則的最小值為__________
【答案】
【解析】
求出f(x)的導(dǎo)數(shù),設(shè)切點(diǎn)(x0,f(x0)),求得切線的方程,代入切點(diǎn),整理化簡(jiǎn)可得2x03﹣(3+3a)x02+6ax0+b=0(*)由條件切線恰有兩條,方程(*)恰有兩根.令u(x)=2x3﹣(3+3a)x2+6ax+b,求出導(dǎo)數(shù),求得極值點(diǎn),令其中一個(gè)極值為0,可得3a+b=1,運(yùn)用乘1法和基本不等式,計(jì)算即可得到所求最小值.
f′(x)=3x2﹣6x,
過點(diǎn)P(a,b)作曲線的切線,
設(shè)切點(diǎn)(x0,f(x0)),則切線方程為:y﹣b=(3x02﹣6x0)(x﹣a),
將(x0,f(x0))代入得:f(x0)=(3x02﹣6x0)(x0﹣a)+b=x03﹣3x02,
即2x03﹣(3+3a)x02+6ax0+b=0(*)
由條件切線恰有兩條,方程(*)恰有兩根.
令u(x)=2x3﹣(3+3a)x2+6ax+b,u′(x)=6x2﹣(6+6a)x+6a=6(x﹣a)(x﹣1),
可得u(1)=0或u(a)=0,
即有3a+b=1或b=a3﹣3a2(舍去),
則=(3a+b)()=4++≥4+2=4+2,
當(dāng)且僅當(dāng)b=a=時(shí),取得等號(hào).
即有的最小值為4+2,
故答案為:4+2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:對(duì)任意的,存在唯一的,使;
(3)設(shè)(2)中所確定的關(guān)于的函數(shù)為,證明:當(dāng)時(shí),有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知棱,,兩兩垂直,長(zhǎng)度分別為1,2,2.若(),且向量與夾角的余弦值為.
(1)求的值;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知函數(shù)f(x)對(duì)x∈R均有f(x)+2f(﹣x)=mx﹣6,若f(x)≥lnx恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城市的華為手機(jī)專賣店對(duì)該市市民使用華為手機(jī)的情況進(jìn)行調(diào)查.在使用華為手機(jī)的用戶中,隨機(jī)抽取100名,按年齡(單位:歲)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖如圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,分別求出樣本的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)的估計(jì)值(均精確到個(gè)位);
(2)在抽取的這100名市民中,按年齡進(jìn)行分層抽樣,抽取20人參加華為手機(jī)宣傳活動(dòng),現(xiàn)從這20人中,隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部華為手機(jī),求這2名市民年齡都在內(nèi)的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若點(diǎn)在的圖像上運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng)
(1)求的最小值,及相應(yīng)的值
(2)求函數(shù)的解析式,指出其定義域,判斷并證明在上的單調(diào)性
(3)在函數(shù)和的圖象上是否分別存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合均為實(shí)數(shù)集的子集,記.
(1)已知,試用列舉法表示;
(2)設(shè),當(dāng)且時(shí),曲線的焦距為,如果,,設(shè)中的所有元素之和為,求的值;
(3)在(2)的條件下,對(duì)于滿足,且的任意正整數(shù),不等式恒成立, 求實(shí)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與軸和y軸分別交于A,B兩點(diǎn),P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求△PAB面積的最大值.
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