Question

已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將三角形AED折起，使DB=2

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，如圖，O、H分別為AE、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：直線OH∥平面BDE；
（2）求證：平面ADE⊥平面ABCE；
（3）求二面角O-DH-E的余弦值的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）直接利用線線平行得到線面平行．
（2）利用相關(guān)的運(yùn)算求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理求出線面垂直，再轉(zhuǎn)化成面面垂直．
（3）先做出二面角的平面角，再利用余弦定理求出結(jié)果．

解答： （1）證明：已知矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將三角形AED折起，使DB=2

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，如圖，O、H分別為AE、AB的中點(diǎn)．
所以：OH∥BE
OH?平面BDE，BE?平面BDE
所以：直線OH∥平面BDE
（2）在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E為CD的中點(diǎn)，O、H分別為AE、AB的中點(diǎn)．
所以：OD⊥AE，OD=

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連接OB，利用余弦定理解得：
OB²=AO²+AB²-2AO•ABcos∠OAB
解得：OB=

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所以：OD²+OB²=BD²
即：OD⊥OB
OD⊥平面ABCE
OD?平面ADE
所以：平面ADE⊥平面ABCE
（3）如圖所示：OD=OH=

2

，DE=HE=2，
做DH的中點(diǎn)G，連接OG，GE
所以：OG⊥DH，GE⊥DH
即：∠OGE即為二面角O-DH-E的平面角．
所以進(jìn)一步解得：OD=OH=

2

，
利用（2）的結(jié)論進(jìn)一步求得：DH=2，所以O(shè)G=1，進(jìn)一步得：
△DEH為等邊三角形．
利用余弦定理得：cos∠OGE=

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即：二面角O-DH-E的余弦值為

3

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點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，二面角的求法及應(yīng)用，相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題型．