Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB=1，AD=CD=2，E在線段PD上．
（Ⅰ）若E是PD的中點(diǎn)，試證明：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若異面直線BC與PD所成的角為60°，求四棱錐P-ABCD的側(cè)視圖的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證法一：利用線面平行的判定定理證明，在四棱錐P-ABCD中，取PC的中點(diǎn)F，連接EF、FB，只需證明四邊形AEFB是平行四邊形，可得AE∥FB；
證法二：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PB=t，確定平面PBC的法向量=（2，-1，0），證明=0即可；
（Ⅱ）求得||=，||=，利用異面直線BC與PD成60°角，結(jié)合向量數(shù)量積公式，可求PB，從而可得側(cè)視圖的面積．
解答：（Ⅰ）證法一：在四棱錐P-ABCD中，取PC的中點(diǎn)F，連接EF、FB，
因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EFCDAB，…（2分）
所以四邊形AEFB是平行四邊形，…（3分）
則AE∥FB，
而AE?平面PBC，F(xiàn)B?平面PBC，…（5分）
∴AE∥平面PBC． …（6分）
證法二：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸，BP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PB=t，則P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），A（-1，0，0），
所以E（-，1，），，…（2分）
設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），則，所以，即
取y=-1，得到平面PBC的法向量為=（2，-1，0）．
所以=0，而AE?平面PBC，則AE∥平面PBC．…（6分）
（Ⅱ）解：同（Ⅰ）法二建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PB=t（t＞0），則P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），
所以=（-1，2，-t），=（1，2，0），
則||=，||=，…（9分）
由已知異面直線BC與PD成60°角，所以•==，
又•=-1×1+2×2+（-t）×0=3，
所以=3，解得t=，即PB=，
所以側(cè)視圖的面積為S=×2×=．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查異面直線所成角，考查利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，屬于中檔題．