Question

如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

（1）
（2）見解析

（1）設(shè)橢圓方程為，
左焦點F₁（﹣c，0），將橫坐標(biāo)﹣c代入橢圓方程，得y=，
所以①，②，a²=b²+c²③，聯(lián)立①②③解得a=4，，
所以橢圓方程為：；
（2）設(shè)Q（t，0）（t＞0），圓的半徑為r，直線PP′方程為：x=m（m＞t），
則圓Q的方程為：（x﹣t）²+y²=r²，
由得x²﹣4tx+2t²+16﹣2r²=0，
由△=0，即16t²﹣4（2t²+16﹣2r²）=0，得t²+r²=8，①
把x=m代入，得，
所以點P坐標(biāo)為（m，），代入（x﹣t）²+y²=r²，得，②
由①②消掉r²得4t²﹣4mt+m²=0，即m=2t，
=×（m﹣t）==≤×=2，
當(dāng)且僅當(dāng)4﹣t²=t²即t=時取等號，
此時t+r=+＜4，橢圓上除P、P′外的點在圓Q外，
所以△PP'Q的面積S的最大值為，圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
當(dāng)圓心Q、直線PP′在y軸左側(cè)時，由對稱性可得圓Q的方程為，△PP'Q的面積S的最大值仍為為．