Question

【題目】如圖，P是直線x=4上一動點，以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點B（1，0），直線l是圓Γ在點B處的切線，過A（﹣1，0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E，F(xiàn)兩點．
（1）求證：|EA|+|EB|為定值；
（2）證明：設(shè)直線l交直線x=4于點Q，證明：|EB||FQ|=|BF|EQ|．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點為N，則EM=EB，

∴|EA|+|EB|=|AM|= = = =4為定值

（2）同理|FA|+|FB|=4，

∴E，F(xiàn)均在橢圓 =1上，

設(shè)直線EF的方程為x=my+1（m≠0），令x=4，yQ= ，

直線與橢圓方程聯(lián)立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣

∵E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，

∴|EB||FQ|=|BF|EQ|等價于﹣y1 +y1y2=y2 ﹣y1y2，

∴2y1y2=（y1+y2） ，

代入y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ 成立，

∴|EB||FQ|=|BF|EQ|

【解析】（1）設(shè)AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點為N，則EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|= = = =4；（2）確定E，F(xiàn)均在橢圓 =1上，設(shè)直線EF的方程為x=my+1（m≠0），聯(lián)立，E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，|EB||FQ|=|BF|EQ|等價于﹣y1 +y1y2=y2 ﹣y1y2，利用韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論．