Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為-3，求a，b的值；
（2）若曲線y=f（x）存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導函數(shù)．
（1）由函數(shù)f（x）的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為-3得到方程組

f(0)=b=0 f′(0)=-a(a+2)=-3

，解方程組求得a，b的值；
（2）把曲線y=f（x）存在兩條垂直于y軸的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）有兩個極值點，進一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=0有兩個不相等的實數(shù)根，然后尤其判別式大于0求得a的范圍．

解答： 解：由f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R），得
f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）．
（1）由題意得

f(0)=b=0 f′(0)=-a(a+2)=-3

，
解得：b=0，a=-3或1；
（2）∵曲線y=f（x）存在兩條垂直于y軸的切線，
∴關(guān)于x的方程f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=4（1-a）²+12a（a+2）＞0，即4a²+4a+1＞0，
∴a≠-

1

2

．
∴a的取值范圍是（-∞，-

1

2

）∪（-

1

2

，+∞）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，著重考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．