Question

已知sin（

π

4

-β）=-

12

13

，-

π

4

＜β＜

3π

4

，cos（α+

5π

4

）=

4

5

，

3π

4

＜α＜

7π

4

，求：
（1）sin2β；
（2）sin（α+β）．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）首先根據(jù)角的范圍確定-

π

2

＜

π

4

-β＜

π

2

，進(jìn)一步求出sin2β=cos（

π

2

-2β）=2cos2(

π

4

-β)-1，最后求出結(jié)果．
（2）現(xiàn)根據(jù)條件對(duì)角進(jìn)行恒等變換，α+β=(α+

π

4

)-(

π

4

-β)在利用已知條件求出相應(yīng)的三角函數(shù)值，最后確定結(jié)果．

解答： 解：（1）已知：-

π

4

＜β＜

3π

4

，
則：-

π

2

＜

π

4

-β＜

π

2

由于：sin(

π

4

-β)=-

12

13

則：cos(

π

4

-β)=

5

13

則：sin2β=cos（

π

2

-2β）=2cos2(

π

4

-β)-1=-

119

169

（2）cos(α+

5π

4

)=-cos(α+

π

4

)=

4

5

則：cos(α+

π

4

)=-

4

5

由于：

3π

4

＜α＜

7π

4

則：π＜α+

π

4

＜2π
由于：cos(α+

π

4

)=-

4

5

所以：π＜α+

π

4

＜

3π

2

則：sin(α+

π

4

)=-

3

5

則：sin（α+β）=sin[（α+

π

4

）-（

π

4

-β）]=sin(α+

π

4

)cos(

π

4

-β)-cos(α+

π

4

)sin(

π

4

-β)
=-

63

65

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：同角三角函數(shù)的恒等變換，角的恒等變換問題．屬于基礎(chǔ)題型．