已知等軸雙曲線x2-y2=r2上的點(diǎn)M在x軸上的射影是N，則線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程是
x2-4y2=r2
x2-4y2=r2
．
分析：設(shè)出線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出M的坐標(biāo)，通過(guò)M在等軸雙曲線x2-y2=r2上，求出線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．
解答：解：設(shè)線段MN的中點(diǎn)P（x，y），所以M的坐標(biāo)為（x，2y），
因?yàn)镸在等軸雙曲線x2-y2=r2上，所以x2-（2y）2=r2，
所以線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程：x2-4y2=r2．
故答案為：x2-4y2=r2．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，相關(guān)點(diǎn)法是求軌跡方程的常用方法，注意掌握．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知等軸雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2在直線y=x上，線段F1F2的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，
3
2
）．
（1）若已知下列所給的三個(gè)方程中有一個(gè)是等軸雙曲線C的方程：①x2-y2=
27
4
；②xy=9；③xy=
9
2
．請(qǐng)確定哪個(gè)是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)；
（2）現(xiàn)要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從P到A、從P到B修建公路的費(fèi)用都是每單位長(zhǎng)度a萬(wàn)元，則碼頭應(yīng)建在何處，才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低？
（3）如圖，函數(shù)y=
3
3
x+
1
x
的圖象也是雙曲線，請(qǐng)嘗試研究此雙曲線的性質(zhì)，你能得到哪些結(jié)論？（本小題將按所得到的雙曲線性質(zhì)的數(shù)量和質(zhì)量酌情給分）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•普陀區(qū)二模）已知等軸雙曲線C：x2-y2=a2（a＞0）的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． 過(guò)F作一條漸近線的垂線FP且垂足為P，|
OP
| =
2
．
（1）求等軸雙曲線C的方程；
（2）假設(shè)過(guò)點(diǎn)F且方向向量為
d
=(1，2)的直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，求
OA
•
OB
的值；
（3）假設(shè)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得
PM
•
PN
為常數(shù)．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2005•武漢模擬）已知等軸雙曲線C：x2-y2=a2 （a＞0）上一定點(diǎn)P（x0，y0）及曲線C上兩動(dòng)點(diǎn)AB滿足（
OA
-
OP
）•（
OB
-
OP
）=0，（其中O為原點(diǎn)）
（1）求證：（
OA
+
OP
）•（
OB
+
OP
）=0；
（2）求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知等軸雙曲線x2-y2=r2上的點(diǎn)M在x軸上的射影是N，則線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程是______．

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