Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）•cosωx+cos²ωx-

1

4

（ω＞0）圖象上的一個最高點為A，其相鄰的一個最低點為B，且|AB|=

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且b+c=2，A=

π

3

，求f（a）的值域．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先對函數(shù)f（x）進行化簡，然后研究最高點與相鄰最低點的坐標關(guān)系，根據(jù)條件，得出參數(shù)ω的值；（Ⅱ）利用余弦定理，得到邊a的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，研究f（a）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（ωx-

π

6

）•cosωx+cos²ωx-

1

4

=（sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

）•cosωx+cos²ωx-

1

4

=

3

2

sinωxcosωx+

1

2

cos²ωx-

1

4

=

3

4

sin2ωx+

1

4

cos2ωx
=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）
∴y=f（x）的周期為T=

2π

2ω

=

π

ω

．
∴|xA-xB|=

T

2

=

π

2ω

，
yA=

1

2

，yB=-

1

2

．
∵|AB|=

2

，
∴

(xA-xB)2+(yA-yB)2

=

2

，
∴ω=

π

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
f（x）=

1

2

sin（πx+

π

6

），
∴f（a）=

1

2

sin（πx+

π

6

）．
∵△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，A=

π

3

，
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc．
∵b+c=2，
∴(b+c)2-

3

4

(b+c)2≤a2＜(b+c)2
∴1≤a＜2．
∴

7π

6

≤πa+

π

6

＜

13π

6

．
∴-1≤sin（πa+

π

6

）＜

1

2

．
∴-

1

2

≤

1

2

sin（πa+

π

6

）＜

1

4

．
∴f（a）的值域為[-

1

2

，

1

4

）．

點評：本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式、兩點間距離公式、三角函數(shù)的圖象、周期、值域，本題容量適中，運算量大，屬于中檔題．