Question

設(shè)S_n是數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和，點(diǎn)P（a_n，S_n）（n∈N₊，n≥1）在直線y=2x-2上．
（Ⅰ）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記，數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和為T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）設(shè)正數(shù)數(shù)列c_n滿足log₂a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹，求數(shù)列c_n中的最大項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意得S_n=2a_n-2，則n＞1時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=2a_n-1，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）依題意，．由T_n＞2011，得，n≤1006時(shí)，n+，當(dāng)n≥1007時(shí)，，由此能求出n的最小值．
（3）由已知得（c_n）ⁿ⁺¹=n+1即lnc_n^（n+1）=ln（n+1），，由此能求出數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)．
解答：（1）解：依題意得S_n=2a_n-2，則n＞1時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2
∴n≥2時(shí)，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，（2分）
又n=1時(shí)，a₁=2
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ．（4分）
（2）解：依題意，∴
由T_n＞2011，得（6分）
n≤1006時(shí)，n+，當(dāng)n≥1007時(shí)，
因此n的最小值為1007．（9分）
（3）解：由已知得（c_n）ⁿ⁺¹=n+1即lnc_n^（n+1）=ln（n+1）
∴，（11分）
令，x∈[3，+∞），則，當(dāng)x≥3時(shí)，lnx＞1，即
∴當(dāng)x∈[3，+∞）時(shí)，f（x）為遞減函數(shù)
∴n＞2時(shí)，{c_n}是減數(shù)列，（12分）
∵c_n＞0，∴，，，
∴c₁＜c₂＞c₃
∴c₂為數(shù)列c_n中最大項(xiàng)．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．