Question

已知在銳角三角形ABC中，sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

．
（1）求證：tanA=2tanB；
（2）求tanA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）把已知的兩等式分別利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將化簡(jiǎn)后的兩等式組成方程組，兩方程相加相減可得出sinAcosB及cosAsinB的值，兩式相除并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系可得到tanA與tanB的關(guān)系；
（2）由三角形為銳角三角形，得到C的范圍，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出A+B的范圍，由sin（A+B）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（A+B）的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tan（A+B）的值，然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tan（A+B），將得出的tanA的關(guān)系式代入得到關(guān)于tanB的方程，求出方程的解即可得到tanB的值．從而可求tanA的值．

解答： 解：（1）由sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

．得：

sinAcosB+cosAsinB= 3 5 sinAcosB-cosAsinB= 1 5

，
2式相加得：2sinAcosB=

4

5

，即sinAcosB=

2

5

③，
2式相減得：2cosAsinB=

2

5

，即cosAsinB=

1

5

④，
③÷④得：

tanA

tanB

=2，即tanA=2tanB，
（2）∵銳角△ABC，∴0＜C＜

π

2

，
∴

π

2

＜A+B＜π，又sin（A+B）=

3

5

，
∴cos（A+B）=-

1-sin2(A+B)

=-

4

5

，
∴tan（A+B）=-

3

4

，即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

4

，
將tanA=2tanB代入上式并整理得：2tan²B-4tanB-1=0，
解得：tanB=

2+ 6

2

或tanB=

2- 6

2

（舍去），
則tanB=

2+ 6

2

．
∴tanA=2tanB=2+

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意銳角三角形這個(gè)條件，屬于中檔題．