Question

設(shè)f(x)=

a•2x-1

1+2x

是R上的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判定f（x）在R上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）先由函數(shù)是奇函數(shù)，利用待定系數(shù)法求解．
（2）由（1）求得函數(shù)，再用單調(diào)性定義來判斷其單調(diào)性，先任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形看符號(hào)．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)．
∴f（-x）=-f（x）

1-a2x

1+2x

=

a2-x-1

1+2-x

=

a-2x

1+2x

∴1-a•2=a-2^x
∴a=1

（2）設(shè)x₁＜x₂，則2^x₁＜2^x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
所以f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，這類問題往往用到待定系數(shù)法求參數(shù)的值．還考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，一般用定義法或?qū)��?shù)．