Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC與平面PBD所成角的大��；
（3）在線段PB上找出一點(diǎn)E，使得PC⊥平面ADE，并求出此時(shí)二面角A-ED-B的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由線面垂直得AC⊥PD，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由此能證明平面PAC⊥平面PBD．
（2）記AC與BD相交于O，連結(jié)PO，由已知條件得∠CPO就是PC與平面PBD所成的角，由此能求出PC與平面PBD所成的角為30°．
（3）分別以DA，DC，DP為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)PC⊥平面ADE，確定E的位置，求出滿足條件的平面ADE與平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出此時(shí)二面角A-DE-B的大�。�

解答： （1）證明：∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PD，
又∵底面ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，而PD與BD交于點(diǎn)D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）解：記AC與BD相交于O，連結(jié)PO，
由（1）知，AC⊥平面PBD，
∴PC在平面PBD內(nèi)的射影是PO，
∴∠CPO就是PC與平面PBD所成的角，
∵PD=AD，
∴在Rt△PDC中，PC=CD，
而在正方形ABCD中，OC=AC=CD，
∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°．
即PC與平面PBD所成的角為30°．
（3）解：分別以DA，DC，DP為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PD=AD=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
假設(shè)在線段PB上存在一點(diǎn)E使得PC⊥平面ADE，
設(shè) BE=λ EF，則E（

1

1+λ

，

1

1+λ

，

λ

1+λ

）
又∵

PC

=（0，1，-1），

AE

=（

1

1+λ

-1，

1

1+λ

，

λ

1+λ

）且

PC

⊥

AE

，
∴

PC

•

AE

=0，
即

1

1+λ

-

λ

1+λ

=0，
解得：λ=1，此時(shí)E為PD的中點(diǎn)，
又∵PC⊥AD，
∴當(dāng)點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面ADE
∵此時(shí)平面ADE的法向量為

PC

=（0，1，-1），
由（I）知平面BDE的法向量為

AC

=（1，1，0）
則cos＜

PC

，

.

AC

＞=

PC • AC

| PC |•| AC |

=

1

2

，
∴＜

PC

，

.

AC

＞=60°
故此時(shí)二面角的大小為60°

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，平面與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，熟練掌握空間中直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定定理，二面角的求解一般是建立空間坐標(biāo)系，將空間中直線與平面的垂直關(guān)系及二面角問題，轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．