Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象過點(diǎn)（0，1）和（1，4），且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥4x恒成立．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）-f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；
（3）設(shè)g（x）=kx+1，若G（x）=

g(x)-f(x)

在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用題意，推出混合組，求出a、b、c，即可求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）的表達(dá)式，通過對(duì)稱軸所在位置，討論即可求F（x）在[1，2]上的最小值
（3）通過g(x)=kx+1，若G(x)=

g(x)-f(x)

化簡(jiǎn)表達(dá)式，在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化F（x）=-x²+（k-2）x在[1，2]上為增函數(shù)且恒非負(fù)，得到不等式組，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意知

f(0)=1 f(1)=4 ax2+(b-4)x+c≥0恒成立

⇒

c=1 a+b+c=4 △=(b-4)2-4ac≤0

⇒

c=1 b=2 a=1

…（4分）
（2）F（x）=g（x）-f（x）=-x²+（k-2）x，x∈[1，2]，對(duì)稱軸x=

k-2

2

當(dāng)

k-2

2

≤

3

2

，即k≤5時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（2）=2k-8
當(dāng)

k-2

2

＞

3

2

，即k＞5時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（1）=k-3
綜上所述，F(x)max=

2k-8，k≥5 k-3，k＜5

…（8分）
（3）G(x)=

g(x)-f(x)

=

-x2+(k-2)x

，
由G（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)得F（x）=-x²+（k-2）x在[1，2]上為增函數(shù)且恒非負(fù)
故

k-2 2 ≥2 -1+k-2＞0

⇒k≥6…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的解析式的求法，考查計(jì)算能力．